Problem:
N সংখ্যক stick এর দৈর্ঘ্য দেয়া আছে । বলতে হবে এই Stick গুলি দিয়ে কত উপায়ে একটি valid ত্রিভুজ বানানো যাবে ।
constraints:
- $3\leq N \leq 2000$
- $1 \leq length \quad of \quad each \quad stick \leq 10^9$
Problem link: Lightoj 1307
Solution:
একটি valid ত্রিভুজ তখনই হবে, যদি এর যে কোন দুই বাহুর যোগফল এর ৩য় বাহুর চেয়ে বড় হয় ।
আমরা যদি ৩ টা নেস্টেড লুপ চালিয়ে all possible way তে সল্ভ করার চেষ্টা করি তবে অবশ্যই TLE খাবে ।
তাহলে, আমরা কি করতে পারি ?
আমরা প্রথমেই stick গুলোকে সর্ট করে নেই ।
এখন, প্রতিটা stick নিয়ে দেখব এর সাথে আর কোন দুইটি stick নিলে সেটা valid ত্রিভুজ হবে ।
২য় stick এর জন্যও কিন্তু আমরা লুপ চালিয়ে প্রতিটাই একবার করে নিয়ে দেখতে পারি, কারণ দুইটা নেস্টেড লুপ চালালেও TLE খাবে না, কারণ $N\leq 2000$ ।
তাহলে, এখন দেখতে হবে এই দুইটা stick এর সাথে কত উপায়ে ৩য় stick নির্বাচন করা যায়।
শর্ত মতে, ১ম বাহু + ২য় বাহু > ৩য় বাহু হতে হবে ।
অতএব, আমাদের দেখতে হবে - ১ম বাহু ও ২য় বাহুর যোগফল অপেক্ষা ছোট, এমন কতগুলো stick আছে ।
যেহেতু stick গুলো সর্টেড আছে, তাই আমরা বাইনারি সার্চ করেই এটা বের করতে পারি । যেহেতু একই ভ্যালু রিপিট হতে পারে, অতএব আমাদেরকে upper bound বের করতে হবে । এতে করে আমাদের আরেকটা লুপ চালাতে হবে না । বাইনারি সার্চের কমপ্লেক্সিটি $O(log(n))$, অতএব আমাদের টোটাল কমপ্লেক্সিটি হচ্ছে $O(N^2log(n))$
upper_bound ওই ইন্ডেক্স এর pointer return করে যেই ইন্ডেক্স এর মান সার্চ করা মানের চেয়ে বড় । তার মানে ওই index এর আগে পর্যন্ত যে কোন মান সার্চ করা value এর চেয়ে ছোট বা সমান ।
তাহলে upper_bound দিয়ে আমাদেরকে সার্চ করতে হবে (১ম বাহু + ২য় বাহু - ১) । ২য় লুপ যদি j দিয়ে চালানো হয়, তবে এই (index - j) সংখ্যক stick কে ১ম ও ২য় বাহুর সাথে ৩য় বাহু হিসেবে ব্যবহার করা যাবে ।
